35. Search Insert Position

[arahi10]

問題

https://leetcode.com/problems/search-insert-position/description/

成果物所在

35._Search_Insert_Position/memo.mdがステップ1~3までをまとめたmdファイルです．

次に取り組む問題のリンク

https://leetcode.com/problems/convert-sorted-array-to-binary-search-tree/description

[nodchip]

smaller greater を同一の行で定義する必然性はあまり感じられませんでした。 2 行に分けて書いたほうが、読み手にとって読みやすいように思います。

[nodchip]

Python では整数はほとんどの場合でオーバーフローしないため、 mid = (smaller + greater) // 2 で十分だと思います。

[mamo3gr]

N が大きくなろうが、smaller などのインデックスは O(1) ではないかと思いました。

[arahi10]

コメントありがとうございます．

意図としては，int型の変数に対するCPythonの内部表現のメモリサイズについてでした．適宜リファレンスなりするべきでしたね．以下に簡単な検証結果も併せて記載します．

リファレンス

CPythonの多倍長整数の表現を見てみますと，
多倍長整数の変数の値はいくつかの30または15bitの整数で内部表現されていることが分かります．

Long integers are made up of a number of 30- or 15-bit digits, depending on
the platform.

また，実装上は，digit 型( = uint32_t または unsigned short)の配列 ob_digit で管理しており，使っていない2ないし1bitはフラグbitとして扱われているようです．

検証

さて，検証コードを動かしてみました； $1$から $10^{40000}$ くらいのint型の変数xのそれぞれについて，
その値 (x )，ビット長 (x.bit_length())，内部表現で使われる符号なし32bit整数の個数 (#32bit_integers)，その配列のサイズ(in byte, 32bit_integer_array)，および変数xのサイズ(in byte, x.__sizeof()__)
を計算・取得して出力するものです．

検証コード

import math

def memory_profile(x: int):
    power = int(math.log10(x))
    bit_length = x.bit_length()
    num_of_32bit_integers = -(-bit_length // 30)
    array_size_in_bytes = 4 * num_of_32bit_integers
    print(
        f"x = 10 ** {power:>5}, x.bit_length= {bit_length:>6}, #32bit_integers = {num_of_32bit_integers:>4}, 32bit_integer_array = {array_size_in_bytes:>5}, {x.__sizeof__() = }"
    )

one = 1
print(f"{one.__sizeof__() = }")
for i in range(5):
    too_big = 10 **(4 * 10**i)
    memory_profile(too_big)

出力結果は以下です；実行結果としても，多倍長整数は30bitに収まらない範囲の整数に対処するために，適宜メモリを大きく確保していることが分かります．

one.__sizeof__() = 28
x = 10 **     4, x.bit_length=     14, #32bit_integers =    1, 32bit_integer_array =     4, x.__sizeof__() =    28
x = 10 **    40, x.bit_length=    133, #32bit_integers =    5, 32bit_integer_array =    20, x.__sizeof__() =    44
x = 10 **   400, x.bit_length=   1329, #32bit_integers =   45, 32bit_integer_array =   180, x.__sizeof__() =   204
x = 10 **  4000, x.bit_length=  13288, #32bit_integers =  443, 32bit_integer_array =  1772, x.__sizeof__() =  1796
x = 10 ** 40000, x.bit_length= 132878, #32bit_integers = 4430, 32bit_integer_array = 17720, x.__sizeof__() = 17744

以上のように，内部表現では30bit整数を用いるため，「 $N$ が大きくなってしまうと $O(\log N)$ のサイズになる」という主張をしたわけでした．