Formulaic

现代 C++20 高性能数学函数表达式解析、微积分/FFT 计算与高品质图形渲染库

支持显式曲线、隐式方程 (LHS = RHS)、参数方程与二维标量场渲染，具备零内存分配虚拟机、Win32 HWND 原生无闪烁双缓冲绑定、标准双向 LaTeXLive 转换与矢量渲染引擎、高精度跨平台 GMP 算术以及深度管线钩子与交互式可视化工作台。

核心特性 • 架构图解 • 效果演示图库 • 快速开始 • 交互工作台 • 构建指南

渲染图库与视觉演示

1. 架构管线总览 (Pipeline Architecture)

2. 交互式可视化与分屏工作室 (Interactive Studio)

图：Formulaic 实时分屏数学工作室 (test_editor_window) —— 左侧多行语法高亮与智能代码补全编辑框、LaTeXLive 实时双向转换与剪贴板输出，右侧原生 HWND 60 FPS 亚像素抗锯齿渲染与浮动 LaTeX 公式看板。

3. 多模态渲染成果 (Rendering Showcase)

隐式方程 (Marching Squares)	显式曲线 (Xiaolin Wu 亚像素抗锯齿)
x² + y² = 4 亚像素等值线轮廓	y = sin(x) 连续平滑抗锯齿曲线

二维标量场热力图 (Viridis Colormap)	参数化曲线 (Lissajous Curve)
z = cos(r) · exp(-0.2r) 科学色谱标量场	李萨如图形: x = sin(3t), y = sin(4t)

数学脚本变量声明 (let / var)	曲线悬停拾取与十字光标 HUD
*`let r = hypot(x, y); sin(6theta)exp(-0.35r)`*	鼠标悬停智能加粗、高亮与数值检测 Tooltip

数值微积分导数验证 (diff_step)	快速傅里叶变换与窗函数 (FFT)
数值差分 ∂/∂x (sin x · cos y) 逼近	hann 窗调制与三角波形发生器

三维曲面预览 (3D Surface Sombrero)	标准 LaTeXLive 渲染与公式看板
z = sin(√(x²+y²))/√(x²+y²) 透视网格与 Viridis 色谱渲染	矢量排版微积分与多变量公式实时看板

核心特性

1. 表达式解析与虚拟机构架 (Parser & Bytecode VM)

解耦式编译前端：词法分析（Lexer） -> 递归下降/Pratt 语法解析 -> 抽象语法树（AST） -> 字节码编译器 -> 紧凑字节码虚拟机（Bytecode VM）。
极速零堆分配执行：在高频逐像素或逐采样点求值时，虚拟机运行在定长紧凑栈上，单核吞吐量超过 15,000,000 次求值/秒。
数学方程原生支持 (LHS = RHS)：
- 支持直接输入 x^2 + y^2 = 4、x^2 - y^2 = 1、y = sin(x) 等常见数学方程式。
- 自动将方程式规范化为零等值面 F(x, y) = (LHS) - (RHS) = 0，与 Marching Squares 隐函数提取无缝契合。
智能隐式乘法识别：
- 支持 2x、3(x+1)、x y、3sin(x)，以及变量/常数紧跟括号的形式如 x(y + 1)、pi(x + 1)。
多语句脚本与变量声明 (let / var)：
- 允许在公式前定义中间变量以大幅降低复杂公式的冗余计算：
```
let r = hypot(x, y);
let theta = atan2(y, x);
let envelope = exp(-0.35 * r);
sin(6.0 * theta) * envelope;
```
内置 60+ 种数学函数、微积分算子与物理常数：
- 基础与三角函数：sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2(y, x), sec, csc, cot, asec, acsc, acot
- 双曲与反双曲函数：sinh, cosh, tanh, sech, csch, coth, asinh, acosh, atanh
- 指数与对数族：exp, exp2, expm1, ln, log10, log2, log1p, pow(x, y)
- 截断与特殊函数：sqrt, cbrt, abs, floor, ceil, round, trunc, frac, sign, copysign, sinc, erf, erfc, gamma, lgamma, beta
- 图形学阶跃与插值：step(edge, x), smoothstep(edge0, edge1, x), lerp(a, b, t), clamp(x, min, max), hypot(x, y)
- 微积分与差分算子：diff_step(f_plus, f_minus, h)（二阶精度中心差分导数）、diff_forward、diff_backward、diff2_step（二阶导数）、curvature_2d（平面曲线曲率 κ）
- 窗函数与波形发生器：hann(x), hamming(x), blackman(x), flattop(x), welch(x), square_wave(x, freq), sawtooth_wave(x, freq), triangle_wave(x, freq), chirp(x, f0, t1, f1)
- 内置高精度常数：pi, e, tau, phi, sqrt2, sqrt3, euler (γ ≈ 0.577215), ln2, ln10, inf

2. 数值微积分与快速傅里叶变换引擎 (Math Engine)

数值微积分库 (Formulaic::math::Calculus)：
- 单变量求导：前向差分、后向差分、五点中心差分、任意阶导数。
- 多元向量微积分：梯度 ∇f(x, y)、拉普拉斯算子 ∇²f(x, y)、方向导数。
- 数值积分：复合梯形法则（Trapezoidal）、复合辛普森法则（Simpson 1/3 & 3/8）、自适应高斯求积。
- 根查找算法：牛顿-拉夫森法（Newton-Raphson）、割线法（Secant）、二分法（Bisection）。
快速傅里叶变换库 (Formulaic::math::FFT)：
- 一维与二维基-2 Cooley-Tukey 算法：实现极速 O(N log N) 正变换与逆变换（IFFT）。
- 窗函数衰减：有效抑制频谱泄露（Spectral Leakage）。
- 幅频特性提取：自动完成时域采样、加窗、FFT 与频域幅值谱生成，支持主频峰值精确侦测。

3. 多后端渲染与抗锯齿光栅化 (Raster Engine)

显式函数渲染：
- 双倍亚像素步长自适应采样。
- 自动奇点/渐近线剔除（如 tan(x) 极点跳变检测，避免竖直连线伪影）。
- Xiaolin Wu 亚像素反走样线段绘制，告别粗糙马赛克锯齿。
隐函数方程渲染：
- 经典 Marching Squares 算法，结合 12 步微元二分迭代（12-step bisection），通过网格角点符号交替与线性插值实现亚像素平滑等值线绘制。
- 微胞分裂（Axis Splitting）：精准捕获穿越坐标轴的极狭窄渐近双曲线分支（如 $1/x + 1/y = 50$ 在大范围缩放下的超细轮廓）。
标量场色彩映射 (Colormaps)：
- 内置科学感知均匀色彩阶：Viridis、Plasma、Jet、Coolwarm。
多格式离线导出：
- Windows 24/32-bit 位图 (.bmp) 零依赖编码。
- Netpbm Binary PPM (.ppm)。
- 裸内存流 (Raw RGBA / Raw BGRA)，便于直接输送至 DirectX / Vulkan 纹理或 FFmpeg 编码器。
- 视频就绪动画帧流发生器 (FrameStream)，支持按目标 FPS 生成高精度连续时序序列帧。

4. 原生窗口句柄 (HWND) 与平滑交互架构

零拷贝双缓冲：底层直接采用 32 位 Top-Down 连续 DIB 内存表面，StretchDIBits 毫秒级极速渲染（单帧 blit < 0.6 ms）。
消息循环解耦：将 Win32 消息队列（鼠标移动/点击）与 60 FPS 动画定时器完全解耦，彻底杜绝快速移动鼠标时动画冻结、卡顿的常见 Bug。
全套交互手势：
- 鼠标左键拖拽视口平移（Pan）。
- 鼠标滚轮以当前光标为锚点自适应缩放（Zoom）。
- 鼠标悬停实时曲线拾取（Curve Hover Detection）：距离判定阈值内自动加粗发光高亮。
- 亚像素级十字指示线与精准坐标悬浮数值看板（HUD Tooltip）。

5. 自定义管线钩子 (Pipeline Hooks)

PreRenderHook：前置拦截钩子（绘制自定义背景网格、水印、背景光晕）。
PostRenderHook：后置拦截钩子（绘制统计看板、调试十字准星、图例）。
CoordinateTransformHook：空间坐标投影变换（如极坐标、对数坐标、球面投影）。
PixelShaderHook：逐像素着色器钩子（支持动态梯度色、光晕与程序纹理混合）。

6. 双向 LaTeXLive 转换与逆向编译 (Bidirectional LaTeXLive)

正向转换 (LatexConverter::convert)：
- 将 Formulaic 公式、隐式方程（如 1/x + 1/y = 0）与多行变量脚本实时转换为工业级标准 LaTeXLive 数学代码。
- 分式自动排版为 \frac{分子}{分母}，消除外层冗余圆括号。
- 自动翻译希腊字母（\alpha, \theta, \nu, \pi 等）与数学常数。
- 下标自动规范化（u0 -> u_{0}, d2u_dx2 -> \text{d2u}_{dx2}）。
- 函数幂次专业表示（如 \sin^{2}\left(x\right)、\sqrt{...}、\left| ... \right|）。
- 多行变量赋值脚本自动生成 \begin{aligned} ... \end{aligned} 对齐环境。
逆向编译 (LatexConverter::to_script)：
- 将标准 LaTeXLive 代码一键逆向翻译为 Formulaic 可求值脚本。
- 自动处理多行 aligned 方程组为多行 let 赋值语句。
- 自动推导并声明未定义的自由未知参数（如玫瑰线方程 $\begin{cases} x = a \cos(3\theta)\cos(\theta) \ y = a \cos(3\theta)\sin(\theta) \end{cases}$ 中自动补齐 let a = 3.0;）。
- 支持 Expression::parse_latex 直接编译并执行标准 LaTeX 数学公式。

7. 矢量级高品质 LaTeXLive 实时渲染引擎 (Vector LaTeX Live Renderer)

专业数学排版引擎 (Formulaic::LatexRenderModule)：
- 自适应伸缩大定界符 (DelimitedBox)：支持 \left( ... \right)、\left[ ... \right]、\left\{ ... \right\}、\left| ... \right|。根据内嵌分式高度与数学中心轴动态计算光滑三次贝塞尔曲度，实现学术级对称延展。
- 分式垂直间隙精确微调：分子分母与分式横线间严格保留安全间隙，彻底消除文字下行部与横线重合。
- 光学字距微调：智能消除多余内边距补白，保持 $(u)$、$(x, y)$ 等数学表达式紧凑自然。
- 操作符转义清除：自动处理 \operatorname{tri\_wave} 等宏包转义，消除多余反斜杠字面量。
- 超高分辨率图像导出：支持将数学公式以任意磅值（如 36pt / 48pt）离线导出为抗锯齿透明或背景纯色矢量品质 PNG / BMP 图像。
- 画板悬浮公式 HUD 看板：RasterEngine::plot_latex_card 实时将排版后的 LaTeX 公式卡片悬浮置于交互画布顶层。

8. 高精度跨平台 GMP / mini-gmp 多精度运算 (Multi-Precision GMP)

GMP 引擎集成 (Formulaic::math::BigInt, Rational, GmpEvaluator)：
- x64 平台无缝衔接硬件汇编加速的 GNU MP 运算库；Win32 / x86 平台自带集成自包含轻量级 mini-gmp 与 mini-mpq，零配置全平台即插即用。
- 彻底攻克渐近极点跳变伪影，完美支持如 $\ln(\sin(x))$ 等渐近奇点函数在实数与负域的高速精确光栅化渲染。

系统架构与渲染管线

flowchart LR
    subgraph Inputs["1. 数学输入与表达式"]
        A1["显式函数 y = f(x, t)"]
        A2["隐式方程 LHS = RHS"]
        A3["参数曲线 x(t), y(t)"]
        A4["脚本变量 let / var"]
    end

    subgraph Core["2. 解析与数学引擎"]
        B1["词法分析 Lexer"] --> B2["Pratt 递归下降 AST"]
        B2 --> B3["字节码编译器"]
        B3 --> B4["极速栈 VM (>15M evals/s)"]
        B5["微积分 Calculus"]
        B6["傅里叶 FFT 引擎"]
    end

    subgraph Raster["3. 光栅化与着色"]
        C1["Marching Squares 等值面"]
        C2["Xiaolin Wu 亚像素抗锯齿"]
        C3["标量场 Colormaps (Viridis)"]
        C4["双缓冲 FrameBuffer"]
    end

    subgraph Output["4. 呈现与输出端"]
        D1["Win32 原生窗口 (HWND)"]
        D2["静态图像 (BMP / PPM / Raw)"]
        D3["连续帧流 FrameStream (60 FPS)"]
        D4["管线钩子 Pipeline Hooks"]
    end

    Inputs --> Core
    Core --> Raster
    Raster --> Output

工程目录结构

Formulaic/
├── CMakeLists.txt              # 顶级工程 CMake 配置文件
├── LICENSE                     # MIT 开源许可证
├── README.md                   # 完整工程文档与图库说明
├── assets/                     # 高清展示图与架构示意图
│   ├── pipeline_architecture.png
│   ├── demo_editor_window.png
│   ├── demo_circle_equation.png
│   ├── demo_explicit_curve.png
│   ├── demo_scalar_field.png
│   ├── demo_parametric_curve.png
│   ├── demo_hover_inspection.png
│   ├── demo_variables_script.png
│   ├── demo_calculus_derivative.png
│   └── demo_fft_windowing.png
├── include/                    # 公共对外 API 接口 (Public Headers)
│   └── Formulaic/
│       ├── core/               # 导出宏、几何类型与结构化诊断
│       │   ├── export.hpp
│       │   ├── types.hpp
│       │   └── error.hpp
│       ├── parser/             # 表达式、语法树与 LaTeXLive 转换器
│       │   ├── token.hpp
│       │   ├── ast.hpp
│       │   ├── bytecode.hpp
│       │   ├── expression.hpp
│       │   └── latex_converter.hpp
│       ├── math/               # 微积分、FFT 与多精度 GMP 算术
│       │   ├── calculus.hpp
│       │   ├── fft.hpp
│       │   ├── bigint.hpp
│       │   ├── rational.hpp
│       │   ├── gmp_types.hpp
│       │   └── gmp_evaluator.hpp
│       ├── render/             # 视口、双缓冲表面与 LaTeX 矢量排版引擎
│       │   ├── color.hpp
│       │   ├── viewport.hpp
│       │   ├── framebuffer.hpp
│       │   ├── raster_engine.hpp
│       │   ├── latex_render_module.hpp
│       │   ├── image_export.hpp
│       │   ├── frame_stream.hpp
│       │   └── window_renderer.hpp
│       └── hooks/              # 管线钩子调度器
│           ├── hooks.hpp
│           └── pipeline_hooks.hpp
├── src/                        # 内部私有实现 (Private Implementation)
│   ├── parser/                 # Lexer、Parser、Compiler、VM、LaTeX 双向转换
│   ├── math/                   # 数值求导、积分、1D/2D FFT、GMP 多精度
│   └── render/                 # 光栅化算法、LaTeX 矢量排版、BMP 导出与 Win32 DIB
├── test/                       # 全覆盖单元测试与交互测试
│   ├── test_parser.cpp         # 表达式求值与性能测试
│   ├── test_raster.cpp         # 渲染与帧流生成测试
│   ├── test_window_hook.cpp    # HWND 绑定与钩子调用测试
│   ├── test_custom_render.cpp  # 自定义输入与命令行渲染测试
│   ├── test_editor_window.cpp  # 分屏交互式数学工作台（高亮、代码补全与 LaTeX 转换）
│   ├── test_gmp.cpp            # GMP / mini-gmp 多精度与有理数测试
│   └── test_latex.cpp          # LaTeXLive 双向互转与高分辨率矢量渲染测试
└── examples/                   # 示例程序
    ├── example_static.cpp      # 静态库链接调用与静态图导出
    └── example_interactive_window.cpp # 动态库交互窗口与平滑动画演示

环境要求与构建指南

1. 开发环境要求

操作系统：Windows 10 / 11 (x64) 或更高版本
编译器：MSVC (Visual Studio 2022 / 2026，C++20 工具集 v143/v144/v145)
构建工具：CMake 3.20+
包管理器：vcpkg (推荐路径 E:/vcpkg 或自定义路径)

2. CMake 配置与编译

在仓库根目录打开 PowerShell 执行：

# 1. 生成工程构建目录
cmake -B build -G "Visual Studio 18 2026" -A x64 -DCMAKE_TOOLCHAIN_FILE="E:/vcpkg/scripts/buildsystems/vcpkg.cmake"

# 2. 编译 Release 配置产物
cmake --build build --config Release

# 3. 运行全自动化单元测试与集成测试
ctest --test-dir build -C Release --output-on-failure

3. Visual Studio / NuGet 一键集成

如果你在 Visual Studio 2022 / 2026 中开发 C++20 工程，可以直接通过 NuGet 安装：

# 包管理器控制台 (Package Manager Console)
Install-Package Formulaic

已内置针对 MSBuild 的自动集成配置文件 (Formulaic.targets)，开箱即用自动注入头文件包含目录、x64 静态库 (Formulaic_static.lib)、动态导入库与运行时 DLL (Formulaic.dll)。

快速开始与 API 示例

1. 数学方程与隐函数解析 (`LHS = RHS`)

#include <Formulaic/parser/expression.hpp>
#include <iostream>

// 解析圆方程: x^2 + y^2 = 4
auto eq = formulaic::Expression::parse_equation("x^2 + y^2 = 4");
if (eq) {
    // 自动转化为零等值函数 (x^2 + y^2) - 4
    double val_on_circle = eq->eval(2.0, 0.0); // 返回 0.0
    double val_inside    = eq->eval(0.0, 0.0); // 返回 -4.0
    std::cout << "Circle at (2,0): " << val_on_circle << "\n";
}

2. 多变量数学脚本声明 (`let` / `var`)

#include <Formulaic/parser/expression.hpp>

// 包含中间变量声明的多语句脚本
const std::string script = 
    "let r = hypot(x, y);\n"
    "let theta = atan2(y, x);\n"
    "sin(6 * theta) * exp(-0.35 * r);";

auto expr = formulaic::Expression::parse(script, {"x", "y"});
double z = expr->eval(1.0, 2.0);

3. 数值微积分导数与曲率计算

#include <Formulaic/math/calculus.hpp>
#include <cmath>
#include <iostream>

auto f = [](double x) { return std::sin(x); };

// 1. 五点中心差分一阶导数
double df = formulaic::math::Calculus::derivative(f, 0.0); // 逼近 cos(0) = 1.0

// 2. 二阶导数
double d2f = formulaic::math::Calculus::derivative2(f, 0.0); // 逼近 -sin(0) = 0.0

// 3. 曲线曲率 kappa(x)
double kappa = formulaic::math::Calculus::curvature_2d(f, 0.0);

4. 快速傅里叶变换 (FFT) 与频域分析

#include <Formulaic/math/fft.hpp>
#include <vector>
#include <complex>

// 构造 8 采样点的纯实数信号
std::vector<std::complex<double>> signal = {
    {1.0, 0.0}, {2.0, 0.0}, {-1.0, 0.0}, {3.0, 0.0},
    {0.5, 0.0}, {-2.0, 0.0}, {1.5, 0.0}, {-0.5, 0.0}
};

// 1. 正向一维 FFT
auto freq = formulaic::math::FFT::fft(signal);

// 2. 逆向一维 IFFT 精确恢复
auto reconstructed = formulaic::math::FFT::ifft(freq);

5. 原生窗口句柄 (HWND) 实时双缓冲呈现

#include <Formulaic/render/window_renderer.hpp>
#include <Formulaic/render/raster_engine.hpp>

auto renderer = formulaic::create_window_renderer();
renderer->attach(reinterpret_cast<void*>(hWnd));

formulaic::RasterEngine engine;
auto expr = formulaic::Expression::parse("sin(x + t) * cos(y)");

renderer->set_render_callback([&](formulaic::FrameBuffer& fb, const formulaic::Viewport& vp, double t) {
    fb.clear(formulaic::Color::BackgroundDark);
    engine.render_grid(fb, vp);
    engine.plot_scalar_field(fb, vp, expr.value(), formulaic::ColormapType::Viridis, -1.5, 1.5, t);
});

// 在定时器或重绘消息中触发呈现
renderer->render(current_time);
renderer->present(); // 毫秒级极速 blit

6. 标准 LaTeXLive 双向转换与逆向编译

#include <Formulaic/parser/latex_converter.hpp>
#include <Formulaic/parser/expression.hpp>
#include <iostream>

// 1. 正向将 Formulaic 方程转为标准 LaTeXLive
auto tex = formulaic::LatexConverter::convert("1/x + 1/y = 0");
std::cout << "LaTeX: " << tex.value() << "\n"; // \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0

// 2. 逆向将 LaTeX 代码编译为 Formulaic 脚本
auto script = formulaic::LatexConverter::to_script("\sqrt{x^{2} + y^{2}} + \alpha \cdot \sin(\theta)");
std::cout << "Script: " << script.value() << "\n"; // sqrt(x^2 + y^2) + alpha * sin(theta)

// 3. 直接解析并求值 LaTeX 代码
auto expr = formulaic::Expression::parse_latex("\sin(x) + \cos(y)");
double val = expr->eval(0.0, 0.0); // 1.0

7. 矢量级高品质 LaTeXLive 公式渲染与离线高清图像导出

#include <Formulaic/render/latex_render_module.hpp>

// 1. 将复杂公式导出为超高分辨率 PNG 图像（支持动态伸缩大括号、分式与对齐方程组）
const std::string math_formula = 
    "\begin{aligned} u &= \operatorname{clamp}\left(\frac{x + 5}{10}, 0, 1\right) \\
"
    "f(x, y) &= \operatorname{hann}\left(u\right) \cdot \operatorname{tri\_wave}\left(u \cdot 5 - t \cdot 0.5\right)\end{aligned}";

bool ok = formulaic::LatexRenderModule::export_math_image(
    math_formula,
    "rendered_formula.png",
    formulaic::Color::White,
    formulaic::Color(24, 24, 37, 255), // 雅致深色背景
    36.0f // 36pt 超清数学矢量字形
);

// 2. 将公式渲染为内存 FrameBuffer 并悬浮于画布之上
formulaic::FrameBuffer card_fb = formulaic::LatexRenderModule::render_math_to_framebuffer(
    math_formula, formulaic::Color::White, formulaic::Color::BackgroundDark, 28.0f
);

8. 跨平台多精度 GMP 与有理数高精度运算

#include <Formulaic/math/bigint.hpp>
#include <Formulaic/math/rational.hpp>
#include <Formulaic/math/gmp_evaluator.hpp>
#include <iostream>

// 1. 任意精度高精度整数算术 (x64 GMP 硬件加速 / x86 mini-gmp)
formulaic::math::BigInt a("123456789012345678901234567890");
formulaic::math::BigInt b("987654321098765432109876543210");
auto c = a * b;
std::cout << "Product: " << c.to_string() << "\n";

// 2. 精确分数与有理数四则运算
formulaic::math::Rational r1(1, 3);
formulaic::math::Rational r2(1, 6);
auto r3 = r1 + r2; // 精确 1/2
std::cout << "1/3 + 1/6 = " << r3.to_string() << "\n"; // "1/2"

9. 三维曲面实时预览与透视色谱渲染

#include <Formulaic/parser/expression.hpp>
#include <Formulaic/render/raster_engine.hpp>
#include <Formulaic/render/framebuffer.hpp>

formulaic::FrameBuffer fb(800, 600, formulaic::Color::BackgroundDark);
formulaic::RasterEngine engine;

// 1. 解析三维曲面方程或二元函数
auto expr = formulaic::Expression::parse("sin(sqrt(x^2 + y^2)) / sqrt(x^2 + y^2)");

// 2. 配置三维投影风格：方位角、俯仰角、网格密度与色谱
formulaic::Surface3DStyle style;
style.azimuth_deg = 45.0;    // 偏航角
style.elevation_deg = 30.0;  // 俯仰角
style.zoom = 1.0;            // 缩放倍率
style.grid_resolution_x = 55;
style.grid_resolution_y = 55;
style.colormap = formulaic::ColormapType::Viridis;
style.show_mesh_faces = true;
style.show_wireframe = true;
style.show_box_axes = true;

// 3. 渲染三维曲面 (内置深度排序消隐与双面定向光照)
engine.plot_surface_3d(fb, expr.value(), style);

分屏交互数学工作室

工程内置了开箱即用的分屏交互数学工作室 test_editor_window.exe：

& "F:\Formulaic\build\test\Release\test_editor_window.exe" --interactive

语法高亮 (Syntax Highlighting)：基于 Win32 RichEdit 引擎，支持关键字 (let, var)、60+ 内置数学函数、数字常数与注释的分词着色（Catppuccin 现代配色）。
智能代码自动补全 (Intelligent Autocomplete)：
- 输入字符即时联想，覆盖全部三角、双曲、微积分、FFT 窗函数与物理常数。
- 键盘 ↑ / ↓ 导航候选项目，按下 Tab 或 Enter 自动补全并填充括号与居中光标。
- 按下 Esc 键随时轻量关闭建议框。
LaTeXLive 实时双向转换面板：
- 左侧操作面板提供实时生成的标准 LaTeXLive 代码显示框。
- 提供 Copy LaTeX 一键复制按钮，随时粘贴至 Overleaf、Markdown 或学术论文。
- 提供 LaTeX -> Script 反向编译按钮，支持直接将外部 LaTeX 格式粘贴导入并立即在右侧画布渲染。
右侧视口与浮动 HUD 看板：
- 实时呈现 60 FPS 平滑渲染视口，左上角浮动优雅的矢量级 LaTeXLive 真实公式卡片。
- 支持左键拖拽平移、滚轮以光标缩放以及智能光标数值悬浮指示。

性能基准测试

在 Windows 11 x64、MSVC Release 优化模式下的实测数据：

核心组件	测试场景	测试规模	实测性能表现
Bytecode VM	求值 `sin(x) * cos(y) + exp(-t)`	1,000,000 次高频调用	15,923,465 次/秒 (62.8 ms)
Equation Parser	方程 `x^2 + y^2 = 4` 规范化与编译	单次编译	< 0.05 ms
Marching Squares	隐函数 x² + y² = 4 轮廓提取	800x600 像素网格	< 3.8 ms / 帧
Explicit 1D Plot	Xiaolin Wu 亚像素抗锯齿曲线	1920x1080 全高清视口	< 1.6 ms / 帧
Win32 HWND Present	内存双缓冲 DIB 极速 blit	1024x768 窗口表面	< 0.5 ms / 帧 (稳定 60+ FPS)
1D Radix-2 FFT	1024 点复数傅里叶正反变换	单次往返	< 0.04 ms

开源协议

本项目采用 MIT 许可证开源。欢迎 Star、Fork 或提交 Issue / Pull Request！

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1. 架构管线总览 (Pipeline Architecture)

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1. 表达式解析与虚拟机构架 (Parser & Bytecode VM)

2. 数值微积分与快速傅里叶变换引擎 (Math Engine)

3. 多后端渲染与抗锯齿光栅化 (Raster Engine)

4. 原生窗口句柄 (HWND) 与平滑交互架构

5. 自定义管线钩子 (Pipeline Hooks)

6. 双向 LaTeXLive 转换与逆向编译 (Bidirectional LaTeXLive)

7. 矢量级高品质 LaTeXLive 实时渲染引擎 (Vector LaTeX Live Renderer)

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