[Bug] 能不能做一下对公式内容的渲染

[gufeng-l]

What happened? / 问题描述

Steps to reproduce / 复现步骤

公式输出一直是未渲染源码

Expected behavior / 预期行为

公式输出一直是未渲染源码

Actual behavior / 实际行为

公式输出一直是未渲染源码

App version / 应用版本

0.14.8

Operating system / 操作系统

Windows

Extra environment / 其他环境信息

PI-Desktop 0.14.8 · win32 x64 · protocol 11 · host 0.14.8

Logs / 日志

Screenshots / 截图

https://github.com/user-attachments/assets/b8bc8c52-e877-4c76-a9fe-5936b4ccbb59

[vastsa]

您好，公式渲染这个版本有点问题，等会会发新版试一下哦

[vastsa]

[gufeng-l]

好像并没有完全修复
在非标准公式的回复中仍然会出现

[gufeng-l]

[vastsa]

您好，可以复制 发出来，我看看

[gufeng-l]

与拉格朗日形式的关系
拉格朗日描述中，以质点初始位置
X
X 为变量：

x

χ
(
X
,
t
)
x=χ(X,t)
动量方程为：

[ \boxed{ \rho_0(\mathbf{X}) \frac{\partial^2\boldsymbol{\chi}}{\partial t^2}
\left[ -\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\rho\mathbf{f} \right]_{\mathbf{x}=\boldsymbol{\chi}(\mathbf{X},t)} } ]

而欧拉形式是在固定空间坐标
x
x 下写作：

[ \boxed{ \rho\left[ \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \right]
-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\rho\mathbf{f} } ]

二者通过物质导数联系：

[ \boxed{ \frac{\partial}{\partial t}\Big|{\mathbf{X}}
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}
\frac{\partial}{\partial t}\Big|{\mathbf{x}} + \mathbf{u}\cdot\nabla } ]

其中：

∂
/
∂
t
∣
X
∂/∂t∣
X
​
：跟随同一流体质点；
∂
/
∂
t
∣
x
∂/∂t∣
x
​
：固定空间点观察；
D
/
D
t
D/Dt：物质导数。

[gufeng-l]

完整内容：
在流体力学中，**欧拉描述（Eulerian description）**是在固定空间位置观察流体速度、压力、密度等量如何随时间变化；它与前面的拉格朗日随体描述相对。

1. 欧拉变量

固定空间坐标：

[
\mathbf{x}=(x,y,z)
]

流场变量写成：

[
\mathbf{u}=\mathbf{u}(\mathbf{x},t)
=(u(x,y,z,t),v(x,y,z,t),w(x,y,z,t))
]

[
p=p(\mathbf{x},t),\qquad \rho=\rho(\mathbf{x},t)
]

含义是：在固定位置 ((x,y,z)) 处，测量该处流体在 (t) 时刻的速度、压力和密度。

---

2. 欧拉形式的连续性方程

可压缩流动

[
\boxed{
\frac{\partial \rho}{\partial t}
+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0
}
]

展开为：

[
\frac{\partial \rho}{\partial t}
+
\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}
+
\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}
+
\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}
=0
]

不可压缩、常密度流动

[
\boxed{
\nabla\cdot\mathbf{u}=0
}
]

即：

[
\boxed{
\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial v}{\partial y}
+\frac{\partial w}{\partial z}=0
}
]

---

3. 欧拉形式的 Navier–Stokes 方程

3.1 一般牛顿流体

[
\boxed{
\rho\left[
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
\right]

-\nabla p
+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}
+\rho\mathbf{f}
}
]

其中：

• (\partial\mathbf{u}/\partial t)：固定空间点处的局部加速度；
• ((\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u})：对流加速度；
• (-\nabla p)：压力梯度力；
• (\nabla\cdot\boldsymbol{\tau})：黏性力；
• (\rho\mathbf{f})：体积力，例如重力 (\rho\mathbf{g})。

牛顿流体黏性应力为：

[
\boldsymbol{\tau}

\mu\left(
\nabla\mathbf{u}
+
(\nabla\mathbf{u})^T
\right)
+
\lambda(\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf{I}
]

---

3.2 不可压缩、常黏度形式

若：

[
\rho=\text{常数},\qquad
\mu=\text{常数},\qquad
\nabla\cdot\mathbf{u}=0
]

则：

[
\boxed{
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
+
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}

-\frac{1}{\rho}\nabla p
+\nu\nabla^2\mathbf{u}
+\mathbf{f}
}
]

其中：

[
\nu=\frac{\mu}{\rho}
]

是运动黏度。

配合不可压缩约束：

[
\boxed{\nabla\cdot\mathbf{u}=0}
]

这就是最常用的不可压缩 Navier–Stokes 欧拉形式。

---

4. 三维分量表达式

令：

[
\mathbf{u}=(u,v,w)
]

则 (x) 方向动量方程：

[
\frac{\partial u}{\partial t}
+
u\frac{\partial u}{\partial x}
+
v\frac{\partial u}{\partial y}
+
w\frac{\partial u}{\partial z}

-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}
+
\nu\left(
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}
\right)
+
f_x
]

(y) 方向：

[
\frac{\partial v}{\partial t}
+
u\frac{\partial v}{\partial x}
+
v\frac{\partial v}{\partial y}
+
w\frac{\partial v}{\partial z}

-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}
+
\nu\nabla^2v
+
f_y
]

(z) 方向：

[
\frac{\partial w}{\partial t}
+
u\frac{\partial w}{\partial x}
+
v\frac{\partial w}{\partial y}
+
w\frac{\partial w}{\partial z}

-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}
+
\nu\nabla^2w
+
f_z
]

再与连续性方程一起求解：

[
\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial v}{\partial y}
+\frac{\partial w}{\partial z}=0
]

---

5. “欧拉公式”中的加速度

欧拉描述下，一个流体质点的真实加速度不是只有：

[
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
]

而是：

[
\boxed{
\mathbf{a}

\frac{\mathrm{D}\mathbf{u}}{\mathrm{D}t}

\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
+
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
}
]

即：

[
\boxed{
\mathbf{a}

\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
+
u\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial x}
+
v\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial y}
+
w\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial z}
}
]

第一项是局部加速度，第二项是对流加速度。

---

6. 与拉格朗日形式的关系

拉格朗日描述中，以质点初始位置 (\mathbf{X}) 为变量：

[
\mathbf{x}=\boldsymbol{\chi}(\mathbf{X},t)
]

动量方程为：

[
\boxed{
\rho_0(\mathbf{X})
\frac{\partial^2\boldsymbol{\chi}}{\partial t^2}

\left[
-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\rho\mathbf{f}
\right]_{\mathbf{x}=\boldsymbol{\chi}(\mathbf{X},t)}
}
]

而欧拉形式是在固定空间坐标 (\mathbf{x}) 下写作：

[
\boxed{
\rho\left[
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
+
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
\right]

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\rho\mathbf{f}
}
]

二者通过物质导数联系：

[
\boxed{
\frac{\partial}{\partial t}\Big|_{\mathbf{X}}

\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}

\frac{\partial}{\partial t}\Big|_{\mathbf{x}}
+
\mathbf{u}\cdot\nabla
}
]

其中：

• (\left.\partial/\partial t\right|_{\mathbf{X}})：跟随同一流体质点；
• (\left.\partial/\partial t\right|_{\mathbf{x}})：固定空间点观察；
• (\mathrm{D}/\mathrm{D}t)：物质导数。

[gufeng-l]

预览中黑色加粗的没能渲染成公式

[vastsa]

问题根因：Marked 的块级 lexer 在 remark-math 之前运行；当 [ … ] 公式体内单独一行出现 =/-（setext 下划线）或 +/*（列表标记）时，公式被切成 heading + paragraph，[ 和 ] 落在不同块，块内 normalizer 找不到配对，反斜杠被 markdown 转义成 [ / ]，公式全部作为源码显示。

修复（apps/desktop/src/lib/latex-math.ts + Markdown.tsx，等长变换）：

normalizeLatexMathDelimiters 在成对识别到 ] / ) 后，把区间内所有 \n 替换为空格（KaTeX 忽略公式内空白，视觉无差别）。
Markdown 组件把 normalize 提升到 source 顶层、跑在 marked lexer 之前；原始文本按同偏移切片供 remarkLatexBracketDisplay 保留 display-math 判定。